Nama: Vena Jua Ana Verison
NPM: 16517066
Kelas: 1PA11
Definisi
Relasi adalah himpunan bagian
antara A(domain) dan B (kodomain) atau relasi yang memasangkan
setiap elemen yang ada pada himpunan A secara tunggal, dengan elemen
yang pada B.
Jenis-jenis
Relasi
1.
Relasi Invers
Misalkan R
merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang
dinyatakan dengan adalah relasi dari B ke A yang mengandung semua
pasangan terurut yang bila dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam
notasi himpunan sbb ;
R-1=
{(b,a) : (a,b)R}
contoh:
A = {1,2,3} B = {x,y}
R = {(1,x), (1,y), (3,x)} relasi dari A ke B
R-1= {(x,1), (y,1), (x,3)} relasi invers dari B ke A
A = {1,2,3} B = {x,y}
R = {(1,x), (1,y), (3,x)} relasi dari A ke B
R-1= {(x,1), (y,1), (x,3)} relasi invers dari B ke A
2.
Relasi Refleksif
Misalkan R = (A, A, P(x,y)) suatu
relasi.
R disebut relasi refleksif, jika
setiap A berlaku (a,a)R.
Dengan kata lain, R disebut relasi
refleksif jika setiap anggota dalam A berelasi dengan dirinya sendiri
Contoh Relasi Refleksif
Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan
R = {(1,1), (2,3), (3,3), (4,2),
(4,4)}
Apakah R relasi refleksif ?
R bukan relasi refleksif, sebab
(2,2) tidak termasuk dalam R.
Jika (2,2) termasuk dalam R, yaitu
R1= {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)} maka R1merupakan relasi
refleksif.
3.
Relasi Simetrik
Misalkan R = (A, B, P(x,y)) suatu
relasi.
R disebut relasi simetrik, jika
setiap (a,b)R berlaku (b,a)R.
Dengan kata lain, R disebut relasi
simetrik jika a R b berakibat b R a.
Contoh Relasi Simetrik
perhatikan satu per satu. Setiap kali kamu menemukan
pasangan, misalnya (a, b), maka cari apakah (b, a) juga ada. Kalau ternyata
tidak ada, pasti relasi itu tidak simetrik.
Apakah
relasi dalam {1, 2, 3, 4} berikut simetrik?
pembahasan
{(1, 2), (2, 3), (4, 2),
(3, 2), (2,4), (1, 1), (3, 3), (2, 1)}
Relasi tersebut simetrik. Mari kita
periksa satu per satu.
kita
menemukan (1, 2). Berarti (2, 1) juga harus ada.
Ternyata benar.
{(1, 2), (2, 3),
(4, 2), (3, 2), (2, 4), (1, 1), (3, 3), (2,1)}
4.
Relasi anti Simetrik
Suatu
relasi R disebut relasi anti simetrik jika (a,b)R dan (b,a)R maka a=b.
Dengan kata lain Jika a, b A, a≠b,
maka (a,b)R atau (b,a)R, tetapi tidak kedua-duanya.
Contoh : Misalkan R suatu relasi
dalam himpunan bilangan asli yang didefinisikan “y habis dibagi oleh x”, maka R
termasuk relasi anti simetrik karena jika b habis dibagi a dan a habis dibagi
b, maka a = b.
lMisalkan A = {1, 2, 3} dan R1=
{(1,1), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2)}, maka R1bukan relasi anti simetrik, sebab
(2,3)R1dan (3,2)R1pula.
5.
Relasi Transitif
Misalkan R suatu relasi dalam
himpunan A. R disebut relasi transitif jika berlaku ; Jika (a,b)R dan (b,c)R
maka (a,c)R.
Dengan kata lain
Jika a berelasi dengan b dan b
berelasi dengan c, maka a berelasi dengan c.
Contoh : Misalkan A = {a, b, c}
dan R = {(a,b), (a,c), (b,a), (c,b)}, maka R bukan relasi transitif, sebab
(b,a)R dan (a,c)R tetapi (b,c)R.
Coba dilengkapi agar R menjadi
relasi transitif
lR
= {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)}
6.
Relasi Equivalen
Suatu relasi R dalam himpunan A
disebut relasi equivalen jika memenuhi ;
1.Sifat Refleksif
2.Sifat Simetrik
3.Sifat Transitif
Sekian
penjelasannya, untuk lebih paham, ada 1 soal nih.
1. Jika
A = {1, 2, 3, 4}, berikut diberikan relasi atas A:
R1
= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}
R2
= {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}
R3
= {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2,2), (3, 3), (4, 1), (4,4)}
R4
= {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}
R5
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3,4), (4,
4)}
R6
= {(3, 4)}
R7
= {(1, 1)}
R8
= {(1, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)}
Manakah
dari kedelapan relasi di atas yang masing-masing bersifat:
refleksif,
simetri, anti simetri, transitif, dan yang bukan simetri sekaligus bukan
antisimetri.
Pada
relasi-relasi di atas yang bersifat refleksif adalah: R3, dan R5.
R1
tidak refleksif karena (3, 3)∉R1.
Relasi
yang bersifat simetri: R2, R3, dan R7.
Relasi
yang bersifat antisimetri: R4, R5, R6, dan R7.
Relasi
yang bersifat transitif: R5, R6, dan R7.
Untuk
melihat R3 tidak bersifat transitif, dapat menggunakan tabel
berikut:
(a,b) (b,c) (a,c) Keterangan
(1,1) (1,2) (1,2) Anggota
R3
(1,2) (2,2) (1,2) Anggota
R3
(1,4) (4,1) (1,1) Anggota
R3
(2,1) (1,4) (2,4) Bukan
anggota R3
(2,2) (2,1) (2,1) Anggota
R3
Untuk
melihat R5 bersifat transitif, lihat tabel berikut:
R5
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2,2), (2,3), (2,4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}
(a,b) (b,c) (a,c) Keterangan
(1,1) (1,2) (1,2) Anggota
R5
(1,2) (2,2) (1,2) Anggota
R5
(1,3) (3,3) (1,3) Anggota
R5
(1,4) (4,1) (1,1) Anggota
R5
(2,2) (2,4) (2,4) Bukan
anggota R3
(2,3) (2,1) (2,1) Anggota
R3
(2,4)
(3,3)
(3,4)
(4,4)
Relasi
yang bukan simetri dan bukan pula antisimetri: R1, dan R8.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar