13. LOGIKA

13. LOGIKA

Nama: Vena Jua Ana Verison

NPM: 16517066

Kelas: 1PA11

Logika matematika adalah sebuah cabang matematika yang merupakan gabungan dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika matematika akan memberikan landasan tentang bagaimana cara mengambil kesimpulan. Hal paling penting yang akan kalian dapatkan dengan mempelajari logika matematika adalah kemampuan dalam mengambil dan menentukan kesimpulan mana yang benar atau salah. Materi logika matematika yang akan dibahas kali ini adalah mengenai pernyataan, negasi , disjungsi , konjungsi , implikasi , biimplikasi, tautologi , kontradiksi , dua pernyataan yang ekuivalen, kalimat berkuantor, serta penarikan kesimpulan.

PERNYATAAN
Pernyataan adalah kalimat yang mengandung nilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus kedua-duanya. Contoh :
a. Hasil kali 5 dan 4 adalah 20
b. Semua unggas dapat terbang
c. Ada bilangan prima yang genap

Contoh a dan c adalah pernyataan yang bernilai benar, sedangkan b penyataan yang bernilai salah.
Contoh kalimat yang bukan pernyataan :
a. Semoga nanti engkau naik kelas
b. Tolong tutupkan pintu itu
c. Apakah ali sudah makan ?

Suatu pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil seperti p, q, r dsb. Misalnya :
P : Semua bilangan prima adalah ganjil
q : Jakarta ibukota Indonesia

Ada 2 dasar untuk menentukan nilai kebenaran suatun pernyataan yaitu :
a. Dasar empiris : jka nilai kebenaran ditentukan dengan pengamatan pada saat tertentu.
Contoh : * Rambut adik panjang
* Besok pagi cuaca cerah
b. Dasar tidak empiris : jka nilai kebenaran ditentukan menurut kaidah atau hukum tertentu. Jadi nilai mutlak tidak terikat oleh waktu dan tempat.
Contoh :
* Jumlah sudut dalam segitiga adalah 1800
* Tugu muda terletak di kota Semarang

KALIMAT TERBUKA
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenaraanya. Ciri dasar kalimat terbuka adalah adanya peubah atau variabel.
Contoh :
a. 2x + 3 = 9
b. 5 + n adalah bilangan prima
c. Kota A adalah ibukota provinsi jawa tengah

INGKARAN DARI PERNYATAAN
Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang mengingkari pernyataan semula.
Ingkaran dari pernyataan p dinotasikan ~ p dibaca “ bukan p” atau “tidak p”.
Tabel kebenarannya sbb :

Contoh :
a. p : Ayah pergi ke pasar
~ p : Ayah tidak pergi ke pasar
b. q : 2 + 5 < 10
~ q : 2 + 5 10

A. PERNYATAAN BERKUANTOR
Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas. Ada 2 macam kuantor, yaitu :

1. Kuantor Universal
Dalam pernytaankuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua, setiap. Kuantor universal dilambangkan dengan (dibaca untuk semua atau untuk setiap)

2. KuantorEksistensial
Dalam pernyataan berkuantoreksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan ada, beberapa, sebagian, terdapat. KuantorEksistensial dinotasikan dengan (dibaca ada, beberapa, terdapat, sebagian)

Ingkaran dari pernyataan berkuantor
Ingkaran dari pernyataan universal adalah kuantoreksistensial dan sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantoreksistensial adalah kuantor universal.
Contoh :
a. p : Semua ikan bernafas dengan insang
~ p : Ada ikan bernafas tidak dengan insang
: Terdapat ikan bernafas dengan paru-paru
: Tidak semua ikan bernafas dengan insang
b. q : Beberapa siswa SMA malas belajar
~ q : Semua siswa SMA tidak malas belajar

B. PERNYATAAN MAJEMUK
1. Konjungsi
Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika “dan” sehingga membentuk pernyataan majemuk “p dan q” yang disebut konjungsi. Konjungsi “p dan q” dilambangkan dengan (p^q)

Dari tabel tersebut tampak bahwa konjungsi selalu bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar.

2. Disjungsi
Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika “atau” sehingga membentuk pernyataan majemuk “p atau q” yang disebut (pvq)

Dari tabel tampak bahwa disjungsi hanya bernilai salah jika kedua pernyataan bernilai salah.

IMPLIKASI
Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika …. maka …….”
Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan p=>q yang dibaca “jika p maka q” atau “p jika hanya jika q” atau “p syarat perlu bagi q” atau “q syarat cukup bagi p”.
Dari implikasi p=>q, p disebut anteseden atau sebab atau hipotesa q disebut konsekuen atau kesimpulan atau konklusi.

Dari tabel tersebut, tampak bahwa implikasi selalu bernilai salah jika sebabnya benar dan akibatnya salah.
Contoh :
P : 5 + 4 = 7 (pernyataan salah)
q : Indonesia di benua eropa (pernyatan salah)
p=>q : Jika 5 + 4 = 7 maka Indonesia di benua eropa (pernyataan benar)

BIIMPLIKASI
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “…….jika dan hanya jika…………” dan dilambangkan .
Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis pq yang dibaca p jika dan hanya jika q atau jika p maka q dan jika q maka p.

Dari tabel kebenaran tersebut, tampak bahwa biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya bernilai sama.

Contoh :
p : 3 + 10 =14 (pernyataan salah)
q : Persegi adalah segitiga (pernyataan salah)
pq : 3 + 10 = 14 jika dan hanya jika persegi adalah segitiga (pernyataan salah)

Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Dari implikasi p q dapat dibentuk implikasi baru :
1. q=>p disebut konvers dari implikasi semula
2. ~ p => ~ q disebut invers dari implikasi semula
3. ~ q => ~ p disebut kontraposisi dari implikasi semula
Contoh :
p : Tia penyanyi
q : Tia seniman
implikasi p=>q : Jika Tia penyanyi maka Tia seniman
Konvers q=>p : Jika Tia seniman maka Tia penyanyi
Invers ~ p => ~ q : Jika Tia bukan penyanyi maka Tia bukan seniman
Kontraposisi ~ q => ~ p : Jika Tia bukan seniman maka Tia bukan penyanyi

C. PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN
Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya, pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama. Lambang ekuivalen adalah
Contoh : Buktikan bahwa: p q (p => q) (q => p)

Ekuivalensi Pernyataan – Pernyataan Majemuk

TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya.
Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya.

Sumber: https://www.google.co.id/amp/s/shennydwia.wordpress.com/2013/11/19/rangkuman-logika-matematika/amp/

12. PROPOSIS

12. PROPOSIS

Nama: Vena Jua Ana Verison

NPM: 16517066

Kelas: 1PA11

Apa sih Proposisi itu?

Jadi, Proposisi merupakan suatu statement atau pernyataan pada matematika dimanastatement tersebut digunakan sebagai kalimat dalam penalaran yang memiliki nilai Benar (True) atau bernilai Salah (False).

Statement pada proposisi yang ada pada matematika biasanya mengandung simbol p, q, dan r. Simbol-simbol itu merupakan simbol umum untuk identitas kalimat pada proposisi. Kalimat proposisi itu sendiri tersusun dari kalimat biasa yang jika dibuktikan kebenarannya akan menghasilkan nilai benar atau salah. Biasanya nilai benar disimbolkan dengan T dan nilai salah disimbolkan dengan F.

Lantas, seperti apakah proposisi itu?

Proposisi ada pada sebuah atau lebih kalimat yang dapat dibuktikan nilai kebenarannya. Contoh kalimat proposisi adalah sebagai berikut:

a. Seminggu memiliki 7 hari

b. 5 + 5 = 10

c. DKI Jakarta adalah ibukota Negara Indonesia

d. Kupu-kupu adalah hewan mamalia

Dari contoh di atas, dapat kita ketahuidimana kalimat a, b, dan c adalah pernyataan yang benar. Sedangkan kalimat d adalah salah. Itulah yang merupakan proposisi, dapat diketahui nilai kebenarannya.

Sedangkan contoh berikut ini:

e. Kamu bukan manusia!

f. A + B + C = D

Coba perhatikan! Kalimat e, f, dan g kita katakana kalimat bukan proposisi. Mengapa? Kalimat-kalimat diatas tidak dapat kita buktikan kebenarannya. "Kamu bukan manusia!", apa yang dapat kita buktikan dari kalimat ini? Siapa itu 'Kamu'?

Lalu "A + B + C = D", juga tidak bias dibuktikan kebenarannya karena kita tidak ketahui secara pasti berapa nilai A, B, C, dan D.

Jadi, kalimat proposisi hanyalah kalimat yang dapat kita buktikan nilai kebenarannya, apakah bernilai benar atau bernilai salah.

Sumber: http://otatechnime.blogspot.com/2017/06/pengertian-proposisi-pernyataan-pada.html?m=1

11. FUNGSI

11. FUNGSI

Nama: Vena Jua Ana Verison

NPM: 16517066

Kelas: 1PA11

Fungsi adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range). 

Pada fungsi, terdapat beberapa istilah penting, di antaranya:

– Domain yaitu daerah asal fungsi fdilambangkan dengan Df.

– Kodomain yaitu daerah kawan fungsi fdilambangkan dengan Kf.

– Range yaitu daerah hasil yang merupakan himpunan bagian dari kodomain. Range fungsi f dilambangkan dengan Rf.

SIFAT-SIFAT FUNGSI

1. FUNGSI INJEKTIF   

Disebut fungsi satu-satu . Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu (injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f:A→B adalah fungsi injektif apabila a ≠ b berakibat f(a) ≠ f(b) atau ekuivalen, jika f(a) = f(b) maka akibatnya a = b. 

2. FUNGSI SURJEKTIF

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain Bterdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

3. FUNGSI BIJEKTIF

Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “ A dan B berada dalam korespondensi satu-satu”.

JENIS-JENIS FUNGSI

1. FUNGSI LINEAR

Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan : f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a ≠ 0 disebut fungsi linear

2. FUNGSI KONSTAN

Misalkan f:A→B adalah fungsi di dalam A maka fungsi f disebut fugsi konstan jika dan hanya jika jangkauan dari f hanya terdiri dari satu anggota. 

3. FUNGSI IDENTITAS

Misalkan f:A→B adalah fungsi dari A ke B maka f disebut fungsi identitas jika dan hanya jika range f = kodomain atau f(A)=B.

4. FUNGSI KUADRAT

Fungsi f: R→R yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a,b,c∈ R dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat.

Sumber: https://www.google.co.id/amp/s/dwideasy.wordpress.com/2014/05/18/pengertian-fungsi-dalam-matematika/amp/